从前向星到链式前向星

我们首先来看一下什么是前向星.

前向星是一种特殊的边集数组,我们把边集数组中的每一条边按照起点从小到大排序,如果起点相同就按照终点从小到大排序,并记录下以某个点为起点的所有边在数组中的起始位置和存储长度,那么前向星就构造好了.

用len[i]来记录所有以i为起点的边在数组中的存储长度.
用head[i]记录以i为边集在数组中的第一个存储位置.

那么对于下图:

我们输入边的顺序为:
1 2
2 3
3 4
1 3
4 1
1 5
4 5
那么排完序后就得到:

得到:
head[1] = 1
len[1] = 3
head[2] = 4
len[2] = 1
head[3] = 5
len[3] = 1
head[4] = 6
len[4] = 2

但是利用前向星会有排序操作,如果用快排时间至少为O(nlog(n))
所以引出：
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链式前向星

如果用链式前向星,就可以避免排序.
我们建立边结构体为:

struct no
{
     int next;
     int to;
     int w;
};
no Edge[N];

其中edge[i].to表示第i条边的终点,edge[i].next表示与第i条边同起点的下一条边的存储位置,edge[i].w为边权值.
另外还有一个数组head[],它是用来表示以i为起点的第一条边存储的位置,实际上你会发现这里的第一条边存储的位置其实在以i为起点的所有边的最后输入的那个编号.
head[]数组一般初始化为-1,对于加边的add函数是这样的:

void add(int u,int v,int w)
{
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

初始化cnt = 0,这样,现在我们还是按照上面的图和输入来模拟一下:

很明显,head[i]保存的是以i为起点的所有边中编号最大的那个,而把这个当作顶点i的第一条起始边的位置.
这样在遍历时是倒着遍历的,也就是说与输入顺序是相反的,不过这样不影响结果的正确性.
比如以上图为例,以节点1为起点的边有3条,
它们的编号分别是0,3,5.
而head[1] = 5.
我们在遍历以u节点为起始位置的所有边的时候是这样的:
for(int i=head[u];i!=0;i=edge[i].next)
那么就是说先遍历编号为5的边,也就是head[1],然后就是edge[5].next,也就是编号3的边,然后继续edge[3].next,
也就是编号0的边,可以看出是逆序的.